Ich würde auch einfach in die wörtliche Rede Absätze machen. Ich finde nicht, dass man hier die wörtliche Rede anders als "normalen" Text behandeln sollte.
Die Anführungszeichen würde ich auch ganz normal setzen, also am Anfang und am Ende der wörtlichen Rede, nicht am Anfang / Ende der einzelnen Absätze; das würde nur verwirren.
Alternativ könnte ich mir vorstellen, die wörtliche Rede insgesamt abzusetzen. Also wenn Charakter X am Lagerfeuer Abends noch eine längere Geschichte erzählt, die evtl. vom Stil her anders ist als seine sonstigen Redebeiträge, dann könnte ein Satz den bisherigen Teil abschließen und nach einer (oder mehreren) Leerzeilen beginnt direkt (ohne Anführungszeichen) die Erzählung.
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Mit getragener Stimme begann der Alte seine Erzählung.
In den Tagen als Gormathon noch jung und voller Kraft war...
ODER EBEN:
Mit getragener Stimme begann der Alte seine Erzählung: "In den Tagen als Gormathon noch jung und voller Kraft war... [usw. mit Absätzen etc.]"
